پازل: زمان سوختن | جايزه هفته: ۵ دستگاه پاوربانك ۱۰ هزار ميلي آمپر ساعتي Baseus

به «پازل» ۱۰ خرداد ۱۳۹۸ خوش آمديد! سري «پازل» به‌صورت هفتگي و در روزهاي جمعه منتشر مي‌شود. دويست‌وشصت‌وچهارمين قسمت از سري «پازل» شامل دو بخش است: پاسخ معماي ۲۶۳ و البته يك «پازل» جديد! با اخبار تخصصي، علمي، تكنولوژيكي، فناوري مرجع متخصصين ايران همراه باشيد.

پاسخ:

الف: ۲۲ مرداد

ب: آذرماه

پاسخ تشريحي:

براي بسياري از دوستاني كه در رشته‌هاي مهندسي و علوم كامپيوتر، فناوري اطلاعات و رياضي تحصيل كرده‌اند؛ نمادهاي مجانبي و سرعت رشد مفهومي آشنا و عميق است كه در اين سؤال سعي شده اين مفهوم، در قالب يك مصداق واقعي قابل لمس شود.

اولين سوالي كه نياز داريم به آن پاسخ دهيم اين است كه الگوي توليد و مثل موش‌ها چگونه است و اين الگو چه نقشي در حل سؤال دارد. باتوجه‌به اينكه معماها بايد طوري طرح شوند كه تمامي افراد با اطلاعاتي نسبتا عمومي قادر به پاسخگويي باشند؛ از بيان راه‌حل‌هاي تخصصي خودداري مي‌كنيم، اما بيان يك ايده در حل اين سؤال خالي از لطف نيست؛ ايده‌ي روابط بازگشتي كه در بسياري از حوزه‌ها متخصصد فراواني دارد، مي‌تواند انديشه متخصصينات ما را نسبت به اين مسئله روشن‌تر كند.

فرض كنيد در يكي از ماه‌هاي سال قرار داريد (مثلا تاريخ ۱۶اُم يك ماه) و چند ماه (حداقل ۳ ماه) از ابتداي سال گذشته است؛ با فرض اينكه تعداد كل موش‌ها در ماه nاُم برابر  a[n] باشد در مورد تعداد جفت موش‌ها و ماهي كه داخل آن هستيم چه مي‌توان گفت؟! به‌طور كلي دو سري موش در اين ماه وجود دارند :

• موش‌هايي كه به‌تازگي در اين ماه متولد شدند (بين 10 ام تا 15 ام همين ماه) كه خود شامل سه دسته‌اند:

• موش‌هايي كه والدين آن‌ها ماه قبل متولد شده‌اند.موش‌هايي كه والدين آن‌ها دو ماه قبل متولد شده‌اند.موش‌هايي كه والدين آن‌ها سه ماه قبل و چهار ماه قبل و قبل تر از آن متولد شده‌اند.

• موش‌هايي كه در اين ماه متولد نشده اند و ماه قبل هم وجود داشته‌اند.

موش هاي متولد شده در ماه جاري از اين انديشه متخصصين به ۳ دسته تقسيم شدند كه والدين آن‌ها بسته به اينكه خود در چند ماه قبل متولد شده‌اند؛ تعداد متفاوتي موش در اين ماه به دنيا خواهند آورد كه باتوجه‌به فرضيات مسئله اين موش‌ها ۳ دسته بودند.

ضمنا به‌طور كلي تعداد موش‌هايي كه در ماه Xاُم متولد مي‌شوند برابر است با:

 {تعداد كل موش‌هاي موجود تا ماه قبل از ماه X} – {تعداد كل موش‌هاي موجود تا ماه X}

بنابراين با فرض اينكه تعداد كل موش‌ها در ماه n‌اُم برابر a[n] باشد مي‌توان گفت:

با ساده كردن رابطه‌ي فوق خواهيم داشت‌:

a[n]=4a[n-1] ­– a[n-2] – a[n-3]

ضمنا مي‌دانيم كه براي تمام ماه‌هاي قبل از ماه اول به تعداد صفر موش داشته‌ايم. حال به‌سادگي قادر خواهيم بود تعداد كل موش‌ها تا هر ماهي كه مي‌خواهيم را بدست آوريم. با فرض اينكه هيچ عقابي وجود نداشته باشد و با استفاده از رابطه بالا تا ماه هفتم يعني مهرماه، تعداد كل جفت موش‌ها (عدد سمت چپ) و تعداد جفت‌هاي موش‌هاي متولد شده در هر ماه (عدد سمت راست) به شكل زير خواهد بود:

a[1]=1                          1

a[2]=4                          3

a[3]=15                        11

a[4]=55                        40

a[5]=201                      146

a[6]=734                      533

a[7]=2680                    1946

همان‌طور كه ملاحظه مي‌كنيد سرعت رشد جمعيت جفت موش‌ها بسيار زياد است به شكلي كه در ماه هفتم فقط ۱۹۴۶ جفت موش متولد مي‌شوند!

حال كه در مورد الگوي توليد مثل موش‌ها اطلاعاتي به دست آورديم نياز داريم تا در مورد الگوي شكار عقاب‌ها مباحثه كنيم و مطالعه كنيم كه در چه شرايطي انقراض موش‌ها ممكن است. (ضمنا همان‌طور كه يكي از دوستان، به درستي در انديشه متخصصينات ها اشاره كردند ، هر جفت موش يا با هم زنده خواهند بود يا با هم خواهند مرد.)

باتوجه‌به دو قسمت الف و ب كه در اين معما مطرح بود؛ ما نياز داريم بدانيم كه منظور از "استراتژي خاص" چه چيزي مي‌تواند باشد. توجه كنيد كه در قسمت الف سؤال درواقع پرسيده شده آخرين روزي كه مي‌توانيم عقاب‌ها را رها كنيم تا انقراض موش‌ها ممكن باشد چه روزي است؟! يعني ما به قطعيت نمي‌توانيم بگوييم رهاسازي عقاب‌ها براي اولين شكار در تاريخ d (تاريخ حساس) ما را قطعا با انقراض موش‌ها مواجه خواهد كرد، بلكه احتمالا انقراض موش‌ها مستلزم شرايطي خاص خواهد بود كه از اين شرايط خاص به‌عنوان "استراتژي خاص" ياد مي‌شود. با كمي دقت در مسئله متوجه مي‌شويم كه بهترين الگويي كه عقاب‌ها مي‌توانند براي شكار انتخاب كنند اين است كه، عقاب‌ها از جديدترين موش‌هايي كه متولد مي‌شوند شروع به شكار كنند، چرا كه موش‌هاي متولد شده در ماه جاري، سه جفت موش در ماه بعد به دنيا خواهند آورد. موش‌هاي متولد شده در ماه قبل، دو جفت موش در ماه بعد به دنيا خواهند آورد و موش‌هاي متولد شده تا دو ماه قبل، تنها يك جفت موش در ماه بعد به دنيا خواهند آورد.

مي‌دانيم كه عقاب‌ها (كل ۱۳ عقاب) مي‌توانند در هر ماه مجموعا ۱۳۰ جفت موش شكار كنند. از جايي كه اين تعداد ثابت است و رشد نمي‌كند (عقاب‌ها در مسئله توليد مثل نمي‌كنند)، ما بايد تربيت عقاب‌ها را تا قبل از تاريخ حساس تمام كنيم. براي مثال فرض كنيد بتوانيم عقاب‌ها را به ماه ششم جهت شكار برسانيم (يعني ۱۰ روز آخر ماه ششم عقاب‌ها شكار كنند). در اين صورت عقاب‌ها ۱۳۰ جفت موش شكار خواهند كرد، اما حتي اگر عقاب‌ها با استراتژي خاص اين ۱۳۰ جفت را شكار كنند و تمام ۱۳۰ جفت موش، از دسته‌اي باشند كه در ماه جاري متولد شده‌اند؛ هنوز ۴۰۳ عدد موش وجود دارند كه فقط در اين ماه متولد شده‌اند! ضمن اينكه ۲۰۱ موش هم تا آخر ماه پنجم متولد شده‌اند كه مجموعا برابر ۶۰۴ جفت موش مي‌شود (توجه داريم كه اين عدد برابر  ۱۳۰-۷۳۴ خواهد بود.)

با يك حساب سرانگشتي واضح است كه ماه ششم براي اولين رها سازي عقاب‌ها قطعا دير خواهد بود، چرا كه رهاسازي عقاب‌ها در هر ماه تنها در ۱۰ روز پاياني ماه ممكن است، يعني بعد از توليد مثل ماه ششم موش‌ها! (براي درك بهتر موضوع مطالعه كنيد كه در صورت رهاسازي عقاب‌ها در ماه ششم براي اولين‌بار چه تعداد موش در ماه هفتم و چه تعداد موش در ماه هشتم متولد خواهند شد؟!) از طرفي با توجه اينكه تا ماه چهارم تنها ۵۵ جفت موش در مزرعه وجود دارند، واضح است در صورتي كه عقاب‌ها را براي اولين‌بار در ماه چهارم (۱۰ روز پاياني ماه) جهت شكار رها كنيم، مي‌توانند همه‌ي موش‌ها را شكار كنند. حتي ۶ عدد عقاب با هر استراتژي براي منقرض كردن موش‌ها در ماه چهارم كافي است! بنابراين باتوجه‌به اينكه ما آخرين تاريخ را مي‌خواهيم، دريافتيم كه اين تاريخ زودتر از ۲۲ تير ماه نخواهد بود. اما تنها ماهي كه هنوز آن را مطالعه نكرده‌ايم، ماه پنجم است چرا كه تكليف ماه ششم به بعد و چهارم به قبل را مشخص كرديم. براي درك بهتر جواب هر دو قسمت مسئله توجه به جدول زير بسيار راهگشا خواهد بود اما قبل از آن، توضيح يك نكته بسيار جذاب است: در اين مسئله تاريخ حساس ۲۲ مرداد يعني اولين روز از ۱۰ روز پاياني مرداد است؛ البته دوستاني كه ۲۱ مرداد را براي پاسخشان در انديشه متخصصين گرفتند جواب غلطي نداده‌اند، چرا كه پايان روز ۲۱ مرداد مد انديشه متخصصينشان بوده است (البته به غير از افرادي كه مرداد را ۳۰ روزه در انديشه متخصصين گرفتند!). ضمنا باتوجه‌به اينكه در صورت سؤال ذكر شده فرايند شكار موش‌ها لاخبار تخصصيا يكنواخت نيست، ما حق انتخاب يك روز مياني در ۱۰ روز آخر مردادماه (مثل ۲۶ مرداد) را نداريم. اما نكته‌ي جالب اينجا است كه در صورتي كه عقاب‌ها در تاريخ حساس براي اولين سري به شكار موش‌ها بروند در صورتي كه از موش‌هاي پيرتر شروع به شكار كنند، پروژه ي انقراض موش‌ها و به تبع آن نجات مزرعه به‌طور كل با شكست مواجه مي‌شود! بنابراين مرداد ماه يك ماه مرزي است از دو جهت:

• اينكه ديرتر از مردادماه قطعا مزرعه از دست مي‌رود
• اگر عقابها در مرداد ماه شكار را از موش‌هاي پيرتر شروع كنند باز هم قطعا مزرعه از دست مي‌رود. (توجه كنيد مطالعه يك استراتژي تركيبي از عملكردهاي خوب و بد در ماه هاي متفاوت ، بسيار دشوار است و از حوصله ي اين متن خارج است بنابراين ما صرفا بهترين عملكرد عقاب‌ها را مورد مباحثه قرار داديم.)

در اين قسمت توضيحات تكميلي در مورد جدول ارائه مي‌كنيم: در ماه ۵اُم (مرداد) ۱۳۰ جفت موش توسط عقاب‌ها شكار مي‌شوند كه به اين ترتيب تنها ۱۶ جفت موش از آن‌هايي كه در مرداد ماه متولد شده‌اند، باقي مي‌مانند كه اين تعداد در ماه ۶اُم، ۴۸ جفت موش به دنيا مي‌آورند. همچنين ۴۰ جفت موشي كه در ماه ۴اُم متولد شدند، در ماه ۶اُم ۸۰ جفت ديگر متولد مي‌كنند و درنهايت تمام ۱۵ جفتي كه تا ماه سوم متولد شده بودند، در ماه ۶اُم، ۱۵ جفت موش ديگر متولد مي‌كنند. از طرفي از كل ۲۰۱ موشي كه تا ماه پنجم (منظور تا ۱۵اُم اين ماه) وجود داشتند؛ تنها ۷۱ جفت موش ديگر پس از اولين حمله‌ي عقاب‌ها (آخر ماه ۵اُم) باقي ماندند.

همين تحليل براي ستون هاي بعدي جدول نيز صادق است؛ اما كه در ماه هفتم، عقاب‌ها ۱۲۶ جفت موش از متولدين همين ماه و ۴ جفت موش ديگر از متولدين ماه ششم شكار مي‌كنند (چون متولدين ماه ششم از متولدين ماه پنجم و قبل تر خطرناك‌ترند و هر كدام مي‌توانند در ماه هشتم دو جفت بچه به دنيا آورند) .

در ماه هشتم عقاب‌ها مي‌توانند ۴۱ جفت موش، مازاد بر موش‌هاي متولد ماه هشتم شكار كنند، اما از جايي كه جفت موش متولد ماه هفتمي باقي نمانده و جفت موش‌هاي موجود تا ماه ششم تفاوتي از انديشه متخصصين ميزان خطر براي ماه نهم ندارند؛ فرق نمي‌كند كه عقاب‌ها كدام يك از متولدين ماه اول تا ششم را شكار كنند، اما براي حفظ نظم حل مسئله همان استراتژي را ادامه داديم؛ بنابراين ابتدا ۹ جفت باقي مانده از ۱۳ جفت ماه ششم شكار شدند و ۳۲ جفت ديگر ، از ۷۱ جفت موجود تا ماه پنجم.

و درنهايت ...

عقابها با يكديگر خواندند:

توي پاييز مجاور ، وسطاي ماه آذر

شد قرارمون كه باهم ، بزنيم به موش آخر !

براي علاقه مندان:

دوستاني كه به حل اين سؤال علاقه‌مند بودند، مي‌توانند سوالات زير را (خصوصا آخرين قسمت) بيشتر و عميق تر مورد مباحثه قرار دهند.

الف: در صورتي كه هيچ عقابي وجود نداشته باشد و موش‌ها به روند طبيعي توليد مثل خود ادامه دهند، چند جفت موش در مهرماه متولد خواهد شد؟

ب: "تاريخ حساس" چه روزي است؟ (در پاسخ تاريخ را ذكر كنيد ؛ مثلا يك فروردين)

پ: "استراتژي خاص" چگونه است؟ (لطفا پاسخ بيشتر از ۲ خط نشود)

ت: در صورتي كه عقاب‌ها را در "تاريخ حساس" با "استراتژي خاص" جهت شكار رها كنيم ؛ آيا ممكن است بعد از آن در يك بازه ي زماني ؛ جمعيت موش‌ها نسبت به "روز قبل از تاريخ حساس" بيشتر باشد يا اينكه جمعيت آن‌ها همواره كاهش مي يابد تا منقرض شوند؟

ث: در صورتي كه پاسخ قسمت (ت) مثبت است و اين امكان وجود دارد ؛ اين موضوع چگونه قابل توجيه است كه در يك بازه ي زماني بعد از "تاريخ حساس" جمعيت موش‌ها افزايش مي يابد ؛ اما ما همچنان اطمينان داريم كه اين موش‌ها منقرض خواهند شد.

ج: در صورتي كه عقاب‌ها را در "تاريخ حساس" با يك استراتژي غير از "استراتژي خاص" جهت شكار رها كنيم؛ آيا ممكن است فرايند انقراض موش‌هاي مزرعه با شكست مواجه شود؟

چ: در صورتي كه عقاب‌ها را در "تاريخ حساس" با "استراتژي خاص" جهت شكار رها كنيم؛ در ابتداي كدام ماه سال حتي يك عدد موش هم وجود نخواهد داشت؟ (اولين ماهي كه اين خاصت را دارد بگوييد)

ح: در صورتي كه عقاب‌ها را در "تاريخ حساس" با "استراتژي خاص" جهت شكار رها كنيم؛ اما در تاريخ ۱۹ شهريور يكي از عقاب‌ها توسط يك خائن، به‌دليل منافع شخصي دزديده شود؛ فرايند انقراض موش‌ها در مزرعه چه عاقبتي خواهد داشت؟!

۱۹۲ نفر از متخصصان در «پازل ۲۶۳ اخبار تخصصي، علمي، تكنولوژيكي، فناوري مرجع متخصصين ايران» شركت كردند كه ۲۷ نفر موفق به ارايه‌ي پاسخ صحيح شدند. اما برنده‌ي خوش‌شانس اين قسمت از پازل:

دو عدد نخ به‌نام‌هاي A و B داريم، نخ A در ۳۰ ثانيه و نخ B در ۴۰ ثانيه مي‌سوزد. اين نخ‌ها لاخبار تخصصيا يكنواخت نمي‌سوزند. آيا ممكن است زمان ۲۷٫۵ ثانيه را با اين نخ ها اندازه بگيريم؟ اگر بله چطور؟

منبع طرح معما‌هاي سري «پازل» اينترنت نيست؛ اما در دنياي اينترنت، ممكن است پاسخ هر چيزي يافت شود. پس اگر جوابي در اينترنت يافتيد، به دوستان خود احترام بگذاريد و آن را منتشر نكنيد. علاوه‌بر اين، ازآنجاكه بخش هم انديشي ها مقاله‌هاي «پازل»، محل تبادل انديشه متخصصين و راهنمايي محسوب مي‌شود، جهت احترام به حقوق خود و ساير متخصصان، از ارسال هم انديشي ها غيرمرتبط خودداري كنيد.

تا ساعت ۱۲ ظهر روز پنجشنبه فرصت داريد به اين معما پاسخ دهيد. براي بهتر شدن «پـازل» هم انديشي ها و پيشنهادهاي خود را درباره اين بخش، حتماً با ما در ميان بگذاريد.